Борис Владимирович Бибиков родился 9 (22) июля 1900 года в Серпухове.
В 1921 году окончил театральную студию под руководством М. А. Чехова.
С 1922 года был актёром 1-й студии МХТ.
1927-1932 гг. - актёр и режиссёр-ассистент Театра Революции.
С 1935 года ставил спектакли совместно с О. И. Пыжовой, его женой.
В 1934—1941 годах — педагог ГИТИСа. С 1942 был педагогом ВГИКа, где с 1949 года совместно с О. И. Пыжовой руководил актёрской мастерской.
В 1949 году совместно с Ольгой Пыжовой в Центральном детском театре (ныне — РАМТ) поставил первый спектакль этого театра "Её друзья" В. С. Розова.
Среди его учеников: Вячеслав Тихонов, Руфина Нифонтова, Нонна Мордюкова, Майя Булгакова, Надежда Румянцева, Светлана Дружинина, Леонид Куравлёв, Любовь Соколова, Софико Чиаурели, Екатерина Савинова, Юрий Белов, Андрей Вертоградов, Тамара Носова и многие другие известные актёры
После смерти Ольги Пыжовой Борис Бибиков в 1978 году женился на одной из своих учениц Малике Джурабековой и уехал с ней на её родину, в Душанбе. В течение четырёх лет преподавал в Таджикском государственном институте искусств имени М. Турсун-Заде.
Умер 5 ноября 1986 года на 87-м году жизни в Душанбе. Похоронен на Православном кладбище Душанбе.
Признание и награды:
-Заслуженный деятель искусств РСФСР (1947 г.)
- Лауреат Сталинской премии третьей степени (1950 г.)
- Заслуженный деятель искусств Башкирской АССР (1959 г.)
- Заслуженный деятель искусств Таджикской ССР (1964 г.)
- Заслуженный артист Каракалпакской АССР (1967 г.)
Творчество: постановки в театре:
1938 г.— "Сказка" М. А. Светлова (Московский театр для детей)
1943 г. — "Укрощение строптивой" Шекспира (Казахский театр драмы, Алма-Ата)
1946 г.— "Нашествие" Л. М. Леонова (Московский театр имени Моссовета)
1948 г.— "Я хочу домой" С. В. Михалкова (Центральный детский театр); Сталинская премия третьей степени (1950) (с О. И. Пыжовой)
1949 г.— "Снежная королева" по Г. Х. Андерсену (Центральный детский театр)
1956г. — "Двадцать лет спустя" Светлова (Центральный детский театр)
Фильмография:
1942г. — Котовский
1952 г.— Незабываемый 1919-й — полковник Зейдлиц
1953 г.— Корабли штурмуют бастионы — Спенсер Смит
1957 г.— Рассказы о Ленине
1960 г.— Повесть пламенных лет — Фон Бреннер
1961г. — Ночь без милосердия — полковник Хэгберд
1963г. — Приходите завтра — профессор Александр Александрович Соколов